Geometria Analitica

Le coniche

I primi ad occuparsi di coniche furono Menecmo (matematico della scuola Platonica del IV secolo A.C.) e Apollonio di Perga, soprannominato il grande geometra, nato nel III secolo A.C. e vissuto ad Alessandria d'Egitto, nel periodo oggi chiamato la prima rivoluzione scientifica.

Menecmo ebbe l'idea di intersecare la superficie di un cono con un piano perpendicolare ad una generatrice. Ottenne la superficie del cono ruotando la semiretta generatrice intorno ad una retta fissa chiamata asse.
In particolare, fece le seguenti osservazioni:

  • se l'apertura del cono è uguale a 45° si ottiene una parabola
  • se è minore di 45° si ottiene un'ellisse
  • se è maggiore di 45° si ottiene un'iperbole

L'argomento fu ripreso da Apollonio in un'opera molto importante intitolata «Le sezioni coniche». In questo trattato molto completo Apollonio dimostra per via geometrica, utilizzando il ragionamento deduttivo, la riga e il compasso (gli strumenti di calcolo di quel tempo utilizzati nella geometria euclidea), molte delle sezioni coniche oggi verificabili e dimostrabili con l'analisi matematica.

Rispetto a Menecmo, Apollonio introdusse importanti novità:

  • inclinando il piano da un qualunque cono si possono ottenere tutte e tre le curve
  • di conseguenza, sostituendo un cono ad una falda con uno a doppia falda (tipo clessidra) l'iperbole risulta costituita da due rami
  • infatti per ottenere un'iperbole è necessaria un'inclinazione del piano che gli permetta di incontrare entrambe le falde del cono

Tutto ciò è verificabile in modo molto pratico utilizzando il cono di luce emesso da una torcia elettrica o da una abat-jour[1].

Queste curve sono rintracciabili in molti ambiti che sembrano diversi fra loro. Per esempio:

  • le coniche descrivono le traiettorie dei pianeti
  • le superfici delle antenne paraboliche sono formate dalla rotazione sull'asse di simmetria di una conica. I segnali, provenendo da grandi distanze, vengono riflessi nel ricevitore posto nel fuoco dell'antenna
  • le costruzioni di fari e telescopi utilizzano alcune proprietà delle coniche

In particolare, le coniche sono quattro:

  1. La circonferenza
  2. L'ellisse
  3. La parabola
  4. L'iperbole

Anche noi nelle prossime unità ci occuperemo dello studio delle coniche, utilizzando però il metodo della geometria analitica, già applicato allo studio della retta[2].


Bibliography
1. Leggerini S., Una natura tutta curve. Newton, RCS editore (marzo 2000)
2. Sasso L., La matematica a colori 3, Edizione rossa per il secondo biennio. Edizioni Petrini (2019)
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