Matematica Applicata

La Matematica Applicata è quel settore della Matematica che si occupa di esigenze pratiche e di come affrontare situazioni reali, ossia nella vita di tutti i giorni.

Matematica Finanziaria

Chiunque effettui operazioni di credito o di investimento entra in contatto con la Matematica Finanziaria. Quest'ultima mette a disposizione regole e leggi per consentire a chi effettua quelle operazioni in denaro di sapere quale somma riceverà a una determinata scadenza. Infatti l'oggetto della Matematica finanziaria sono problemi che riguardano somme di denaro[2]. Ad esempio, chi presta del denaro ha il diritto di ricevere indietro la somma prestata, ma anche un compenso.

Nelle situazioni reali non sempre vengono scambiate somme di denaro, ma anche beni di varia natura come — ad esempio — merci, automobili, case, terreni… In questi casi però viene assegnato un valore ai diversi beni, stabilendo un corrispettivo in denaro a ciascun bene.

Le prime tracce della Matematica Finanziaria risalgono ai tempi degli Babilonesi e riguardavano il calcolo degli interessi sulle somme prestate. Tuttavia, le origini concrete della matematica finanziaria risalgono alla fine del Medioevo con il sorgere dei banchi di credito. In questo periodo viene introdotto e formalizzato il moderno concetto di capitalizzazione. Nei secoli successivi, la Matematica Finanziaria si sviluppa col progredire dell'economia e della diffusione dell'attività bancaria; l'impulso decisivo lo si ha con la prima rivoluzione industriale, che porta con sé problemi legati alla vita economica delle aziende e dello Stato[1].

Oggigiorno la Matematica Finanziaria trova applicazione praticamente in tutti i settori dell'Economia: nelle operazioni di impiego di capitali, nella ricerca delle migliori forme di investimenti produttivi, nei piani di finanziamento per le imprese, ecc… Quindi, in generale riguarda tutte le operazioni nelle quali si devono valutare capitali, confrontarli tra loro e operare su di essi. Infatti, in tutte le operazioni che riguardano l'impegno di capitali, si presume che queste somme di denaro non rimangano invariate nel tempo, ma aumentino attraverso la maturazione degli interessi attivi. Questo avviene sia per i soggetti che prestano denaro, sia per chi l'ha ricevuto in prestito ma che decide di restituirlo prima della data di scadenza ricevendo un premio, chiamato sconto.

La Matematica Finanziaria si occupa di operazioni certe, ossia prevedibili e che non dipendono da eventi aleatori, come le rendite.
Viceversa, la Matematica Attuariale (altro ramo della Matematica) studia quelle situazioni in cui le operazioni dipendono da eventi aleatori, come ad esempio le assicurazioni sulla vita[3].

Chi possiede beni che non utilizza, potrebbe investirli finanziariamente per ottenere un guadagno, mentre chi prevede di dover disporre una somma di denaro futura può operare piccoli investimenti che gli fruttino quanto gli occorre.

Le somme di denaro o capitali, se investiti, variano nel tempo secondo determinate modalità. Quindi la Matematica finanziaria fondamentalmente studia le operazioni finanziarie.

Definizione:
Si dice operazione finanziaria un qualsiasi processo che determina una variazione di capitale al trascorrere nel tempo

Un esempio di operazione finanziaria potrebbe consistere nel versamento un determinato capitale in banca e — dopo un anno — con l'aggiunta degli interessi maturati, il ritiro dell'importo complessivo chiamato montante. Il creditore è il soggetto che presta il suo denaro, mentre il debitore è colui che dovrà restituire la somma.

La situazione potrebbe essere schematizzata in questo modo: dato un capitale $C(0)$ al tempo $t=0$ quale sarà la sua entità $C(t)$ al tempo $t$ ?

Le operazioni finanziarie possono essere classificate in base ai seguenti criteri:

  1. Operazioni finanziarie determinate: le variazioni dei capitali sono note a priori e la legge con cui si ottiene il valore $C$ è stabilita con esattezza
  2. Operazioni finanziarie aleatorie: le variazioni dei capitali dipendono da fattori casuali, per cui i valori di $C$ possono essere diversi a seconda del verificarsi certi eventi
  3. Operazioni finanziarie semplici: si ha un unico capitale che viene considerato in diversi istanti di tempo. Sono di due tipi: operazioni di prestito e operazioni di sconto
  4. Operazioni finanziarie complesse: si hanno più capitali o il frazionamento di un unico capitale

La formazione del prezzo di equilibrio del mercato

Il mercato è una istituzione economica costituita da soggetti (venditori e acquirenti), merci, mezzi di pagamento e regolato da consuetudini o da legislazioni specifiche[5].

Definizione
Nel mondo tecnico-economico, per mercato si intende il complesso delle contrattazioni che si svolgono nel tempo e nello spazio fra gruppi di operatori che costituiscono rispettivamente la domanda e l'offerta di una o di moltissime merci.

Pertanto, il mercato per definirsi tale non necessita di un particolare luogo geografico, ma è sufficiente che ci sia un collegamento tra i soggetti, ad esempio in modo telematico come accade nella Borsa valori.

Il concetto di mercato è fondamentale nella teoria economica, perché in un'economia di mercato questo è il meccanismo con cui si determinano i prezzi sia delle merci, sia dei fattori produttivi.

Secondo la forma (o regime) di mercato si può fare la seguente distinzione:

  • Concorrenza perfetta o pura: si ha quando i venditori e i compratori di una o più merci sono così numerosi che nessuno di loro può esercitare un'influenza sul prezzo e sulla quantità offerta o domandata.
  • Monopolio: si ha quando un solo venditore controlla l'offerta di una merce per cui stabilisce il prezzo.
  • Concorrenza imperfetta o monopolistica: è una forma di mercato che si riscontra di frequente nella realtà. Ad esempio quando i produttori differenziano il loro prodotto, sostanzialmente simile a quello delle altre imprese, con un marchio o con la pubblicità; tale è pure il caso dei negozianti al dettaglio ciascuno dei quali può avere in una particolare zona un potere di mercato che gli consente di agire al riparo dalla concorrenza.
  • Oligopolio: è una forma di mercato tipica delle economie industrializzate, caratterizzata dalla presenza nel mercato di poche e, di solito, grandi imprese, ciascuna delle quali influenza la quantità offerta della merce, per cui il prezzo si determina in base a principi e modalità particolari secondo la strategia adottata dalle singole imprese ad esempio il settore automobilistico o quello petrolifero.

Il mercato implica che vi sia un gioco di domanda e di offerta che si estenda ad una gamma notevole di merci. Il risultato al quale il gioco della domanda e dell'offerta conduce è la determinazione della quantità della merce scambiata e del prezzo d’equilibrio, cioè il valore di mercato espresso in moneta, del bene oggetto della contrattazione.

La domanda

Per domanda si intende la quantità di un bene che un soggetto è disposto ad acquistare a un determinato prezzo, in un determinato periodo.
Per determinare la domanda collettiva o di mercato bisogna prima determinare e sommare tutte le singole domande individuali.
La domanda dipende da vari fattori: la tipologia di mercato (monopolio, oligopolio, di libera concorrenza, etc.), dalla scarsità del bene in natura ma soprattutto dal prezzo.

domanda

Possiamo quindi dire che la domanda di un bene è una funzione che dipende dal prezzo e se indichiamo con $p$ (in ascissa) il prezzo di un bene e con $d$ (in ordinata) la sua domanda, è possibile scrivere:

(1)
\begin{equation} d = f (p) \end{equation}

La funzione della domanda è tipicamente una funzione decrescente, visto che la teoria economica ha rilevato come la domanda diminuisce all'aumentare del prezzo.

Tale funzione può essere rappresentata tramite diversi modelli matematici, come ad esempio:

  • un modello lineare se la funzione domanda assume la forma $d = mp + q$
  • un modello parabolico se la funzione assume la forma $d = ap^2+ bp + c$
  • un modello esponenziale se la funzione domanda assume la forma $d = a \cdot e^{-bp}$

L'offerta

Per offerta si intende la quantità di merce che i produttori sono disposti a vendere in corrispondenza di un determinato prezzo, un determinato periodo.
L'offerta è funzione diretta del prezzo, infatti la legge dell'offerta afferma che quest'ultima cresce al crescere del prezzo di mercato. La quantità offerta non può essere infinita, considerato che i produttori devono sottostare ad alcuni vincoli (ad esempio: di tipo tecnologico).

offerta.pdf

Inoltre il prezzo non è l'unico fattore che influenza l'offerta. Possono determinarne una variazione anche:

  • Variazione del prezzo dei fattori produttivi
  • Introduzione di nuove tecniche di produzione
  • Creazione di nuovi prodotti

In termini di elasticità, l'offerta nel breve periodo è tipicamente rigida, mentre nel medio-lungo periodo risulta elastica.

Si può quindi affermare come l'offerta $s$ (dall'inglese supply) è una funzione che dipende dal prezzo $p$ e a livello matematico viene indicata con la dicitura:

(2)
\begin{equation} s=f(p) \end{equation}

con la condizione che $p \geq 0$, poiché altrimenti non sarebbe vantaggioso per il soggetto produttore (o venditore).

Tuttavia, spesso si preferisce utilizzare la funzione inversa (sempre se esiste) dell'offerta e che prende il nome di funzione di produzione[4], ovvero:

(3)
\begin{equation} p = f^{-1}(s) \end{equation}

Bibliography
1. Bartoli O., De Rinaldis G., Matematica — per il triennio degli indirizzi economici-finanziari (1). Juvenilia editore (2002)
2. Palladino D., Scotto S., Matematica Finanziaria. Le Monnier editore (1986)
3. Re Fraschini M., Grazzi G., Spezia C., Matematica: strumenti per l'Economia 1. ATLAS (2002)
4. Re Fraschini M., Grazzi G., Spezia C., Matematica: strumenti per l'Economia 2. ATLAS (2002)
5. Sanna A., Manuale di Economia Politica. Edizioni Tramontana (1993)
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